Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 9 & - 4 \\ 12 & - 5 \end{array}]$

Étape 1

Définissez la formule pour déterminer l’équation caractéristique $p (λ)$ .

$p (λ) = déterminant (A - λ I_{2})$

Étape 2

La matrice d’identité ou matrice d’unité de taille $2$ est la matrice carrée $2 \times 2$ avec les uns sur la diagonale principale et les zéros ailleurs.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans $p (λ) = déterminant (A - λ I_{2})$ .

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Étape 3.1

Remplacez $A$ par $[\begin{array}{c} 9 & - 4 \\ 12 & - 5 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 9 & - 4 \\ 12 & - 5 \end{array}] - λ I_{2})$

Étape 3.2

Remplacez $I_{2}$ par $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 9 & - 4 \\ 12 & - 5 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez $- λ$ par chaque élément de la matrice.

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 9 & - 4 \\ 12 & - 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 9 & - 4 \\ 12 & - 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.2.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 9 & - 4 \\ 12 & - 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.2.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 9 & - 4 \\ 12 & - 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.3.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 9 & - 4 \\ 12 & - 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.3.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 9 & - 4 \\ 12 & - 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 9 & - 4 \\ 12 & - 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Étape 4.2

Additionnez les éléments correspondants.

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 9 - λ & - 4 + 0 \\ 12 + 0 & - 5 - λ \end{array}]$

Étape 4.3

Simplify each element.

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Étape 4.3.1

Additionnez $- 4$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 9 - λ & - 4 \\ 12 + 0 & - 5 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.2

Additionnez $12$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 9 - λ & - 4 \\ 12 & - 5 - λ \end{array}]$

Étape 5

Find the determinant.

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Étape 5.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (9 - λ) (- 5 - λ) - 12 \cdot - 4$

Étape 5.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Développez $(9 - λ) (- 5 - λ)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 9 (- 5 - λ) - λ (- 5 - λ) - 12 \cdot - 4$

Étape 5.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 9 \cdot - 5 + 9 (- λ) - λ (- 5 - λ) - 12 \cdot - 4$

Étape 5.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 9 \cdot - 5 + 9 (- λ) - λ \cdot - 5 - λ (- λ) - 12 \cdot - 4$

Étape 5.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.2.1.1

Multipliez $9$ par $- 5$ .

$p (λ) = - 45 + 9 (- λ) - λ \cdot - 5 - λ (- λ) - 12 \cdot - 4$

Étape 5.2.1.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$p (λ) = - 45 - 9 λ - λ \cdot - 5 - λ (- λ) - 12 \cdot - 4$

Étape 5.2.1.2.1.3

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$p (λ) = - 45 - 9 λ + 5 λ - λ (- λ) - 12 \cdot - 4$

Étape 5.2.1.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = - 45 - 9 λ + 5 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 12 \cdot - 4$

Étape 5.2.1.2.1.5

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.1.2.1.5.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = - 45 - 9 λ + 5 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 12 \cdot - 4$

Étape 5.2.1.2.1.5.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = - 45 - 9 λ + 5 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 12 \cdot - 4$

Étape 5.2.1.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p (λ) = - 45 - 9 λ + 5 λ + 1 λ^{2} - 12 \cdot - 4$

Étape 5.2.1.2.1.7

Multipliez $λ^{2}$ par $1$ .

$p (λ) = - 45 - 9 λ + 5 λ + λ^{2} - 12 \cdot - 4$

Étape 5.2.1.2.2

Additionnez $- 9 λ$ et $5 λ$ .

$p (λ) = - 45 - 4 λ + λ^{2} - 12 \cdot - 4$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $- 12$ par $- 4$ .

$p (λ) = - 45 - 4 λ + λ^{2} + 48$

Étape 5.2.2

Additionnez $- 45$ et $48$ .

$p (λ) = - 4 λ + λ^{2} + 3$

Étape 5.2.3

Remettez dans l’ordre $- 4 λ$ et $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 4 λ + 3$

Étape 6

Définissez le polynôme caractéristique égal à $0$ pour déterminer les valeurs propres $λ$ .

$λ^{2} - 4 λ + 3 = 0$

Étape 7

Résolvez $λ$ .

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Étape 7.1

Factorisez $λ^{2} - 4 λ + 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 7.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $3$ et dont la somme est $- 4$ .

$- 3, - 1$

Étape 7.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(λ - 3) (λ - 1) = 0$

Étape 7.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$λ - 3 = 0$

$λ - 1 = 0$

Étape 7.3

Définissez $λ - 3$ égal à $0$ et résolvez $λ$ .

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Étape 7.3.1

Définissez $λ - 3$ égal à $0$ .

$λ - 3 = 0$

Étape 7.3.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$λ = 3$

Étape 7.4

Définissez $λ - 1$ égal à $0$ et résolvez $λ$ .

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Étape 7.4.1

Définissez $λ - 1$ égal à $0$ .

$λ - 1 = 0$

Étape 7.4.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$λ = 1$

Étape 7.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(λ - 3) (λ - 1) = 0$ vraie.

$λ = 3, 1$